6 research outputs found
Congruence Testing of Point Sets in 4-Space
We give a deterministic O(n log n)-time algorithm to decide if two n-point sets in 4-dimensional Euclidean space are the same up to rotations and translations. It has been conjectured that O(n log n) algorithms should exist for any fixed dimension. The best algorithms in d-space so far are a deterministic algorithm by Brass and Knauer [Int. J. Comput. Geom. Appl., 2000] and a randomized Monte Carlo algorithm by Akutsu [Comp. Geom., 1998]. They take time O(n^2 log n) and O(n^(3/2) log n) respectively in 4-space. Our algorithm exploits many geometric structures and properties of 4-dimensional space
On the Number of Edges of Fan-Crossing Free Graphs
A graph drawn in the plane with n vertices is k-fan-crossing free for k > 1
if there are no k+1 edges , such that have a
common endpoint and crosses all . We prove a tight bound of 4n-8 on
the maximum number of edges of a 2-fan-crossing free graph, and a tight 4n-9
bound for a straight-edge drawing. For k > 2, we prove an upper bound of
3(k-1)(n-2) edges. We also discuss generalizations to monotone graph
properties
The Shadows of a Cycle Cannot All Be Paths
A "shadow" of a subset of Euclidean space is an orthogonal projection of
into one of the coordinate hyperplanes. In this paper we show that it is
not possible for all three shadows of a cycle (i.e., a simple closed curve) in
to be paths (i.e., simple open curves).
We also show two contrasting results: the three shadows of a path in can all be cycles (although not all convex) and, for every ,
there exists a -sphere embedded in whose shadows
have no holes (i.e., they deformation-retract onto a point).Comment: 6 pages, 10 figure
Kongruenztest von Punktmengen in vierdimensionalen Räumen
Congruence is the geometric concept of being the same up to rotations and
translations in Euclidean space. As congruence is a fundamental concept in
geometry, it has drawn broad attentions from the computational geometry
community for a long time whether the curse of dimensionality applies to
congruence testing. We developed a deterministic optimal-runningtime algorithm
for congruence testing in 4-space. To understand the importance of the main
algorithm in the historical context, we provide a survey about the
computational model and the previous work on congruence testing algorithms.
The crucial ingredients of the algorithm are explained component by component.
These include general 4-dimensional rotations, angles between linear
subspaces, and the PlĂĽcker embedding. In the sequence of steps in the
algorithm, high regularities are forced in the structure of point sets. This
lets us encounter beautiful mathematical structures on a 3-sphere and the
symmetry group of finite points: the Hopf fibration of a 3-sphere and the
Coxeter group of four-dimensional point groups. We also give an elementary and
self-contained overview about these two mathematical topics. The main
algorithm consists of five modules that are interesting in their own right.
The algorithm is complicated and we provide rather pessimistic estimates. This
algorithm, however, can be regarded as a big step forward to constructing a
more efficient algorithm in higher dimensions. In the same vein, the last part
is devoted to the extendability of the algorithm to higher dimensions. This
part concludes with discussing implementability and geometric properties that
the algorithm may imply.Kongruenz ist ein Konzept der Geometrie, das die Gleichheit von Objekten in
euklidischen Räumen beschreibt. Die erlaubten Operationen sind Rotationen und
Translationen. Da Kongruenz eines der grundlegendsten Konzepte in der
Geometrie ist, beschäftigen sich viele Wissenschaftler der algorithmischen
Geometrie mit der Frage, ob der Test auf Kongruenz von zwei Punktmengen dem
sogenannten "Fluch der Dimensionaltät" unterliegt. In dieser Arbeit entwickeln
wir einen deterministischen Algorithmus fĂĽr den Kongruenztest von Punktmengen
in vierdimensionalen Räumen mit optimaler Laufzeit. Um die Bedeutung des
Hauptalgorithmus im historischen Zusammenhang zu verstehen, beginnen wir mit
einem Ăśberblick ĂĽber das zu Grunde liegende Rechenmodell. Weiterhin
rezensieren wir die fĂĽr Kongruenztestalgorithmen relevanten bisherigen
Ergebnisse. AnschlieĂźend werden die ausschlaggebenden Bestandteile des neu
entwickelten Algorithmus beschrieben. Dies beinhaltet insbesondere allgemeine
vierdimensionale Drehungen, Winkel zwischen linearen Unterräumen und Plücker
Einbettungen. Bei seiner AusfĂĽhrung forciert der Algorithmus durch eine
gezielte Fallunterscheidung in jedem Schritt mehr und mehr regelmäßige
Strukturen in der Punktmenge. Dabei stoĂźen wir auf ansprechende mathematische
Strukturen auf 3-Sphären und Spiegelungsgruppensymmetrien, die es zu verstehen
und zu analysieren gilt. Dies beinhaltet die Hopf-Faserung einer
dreidimsionalen Sphäre und die Coxeter Gruppe vierdimensionaler
Spiegelungsgruppen. Aus diesem Grund geben wir eine einfache und geschlossene
Ăśbersicht ĂĽber diese beiden Themen. Der Hauptalgorithmus besteht aus fĂĽnf
Modulen, wobei jedes fĂĽr sich einen anspruchsvollen Teilalgorithmus bildet.
Das fĂĽhrt zu einem komplexen Hauptalgorithmus und zwingt uns zu
pessimistischen Abschätzungen der Konstanten in der asymptotischen Laufzeit.
Trotzdem kann dieser Algorithmus als ein erster, wichtiger Schritt zur
Entwicklung von effizienten Algorithmen in höheren Dimensionen angesehen
werden. Wir untersuchen mögliche Ansätze für diese Erweiterungen. Zum
Abschluss folgt eine Diskussion ĂĽber die Implementierbarkeit und ĂĽber weitere
mögliche geometrische Eigenschaften von vierdimensionalen Punktmengen, die der
Algorithmus ausnutzt